Готовимся к Олимпиаде
по математике и логике.
Пишем на следующей неделе,
с понедельника.
Света и Маша хотят купить куклу. У Светы есть только некоторое количество монет достоинством в 1 руб. Ей не хватает до покупки куклы 85 руб. У Маши тоже есть деньги, но ей не хватает до покупки этой куклы 2 руб. Если девочки сложат свои деньги вместе, им всё равно не хватит денег на покупку куклы. Сколько стоит кукла?
Запиши решение и ответ.
Решение.
Решение:
Маше не хватает до покупки 2 руб. Поэтому у Светы меньше 2 руб., иначе при сложении денег вместе им хватило бы на покупку. Поскольку у Светы есть деньги, причём в однорублёвых монетах, то у неё всего одна такая монета. Но Свете не хватает до покупки 85 руб. Значит, кукла стоит 86 руб.
Допускается другая последовательность действий и рассуждений, обоснованно приводящая к верному ответу.
Ответ: 86 рублей
В школьном буфете две чашки чая, один пирожок и четыре конфеты стоят 48 руб., а четыре чашки чая, пять пирожков и две конфеты — 66 руб. Сколько рублей заплатил мальчик за покупку одной чашки чая, одного пирожка
и одной конфеты?
Запиши решение и ответ.
Решение.
Решение:
1) 66 + 48 = 114 (руб.) — стоимость двух перечисленных покупок.
2) 2 + 4 = 6 (шт.) — всего чашек чая.
3) 5 + 1 = 6 (шт.) — всего пирожков.
4) 4+2 = 6 (шт.) — всего конфет.
5) 114:6 = 19 (руб.) заплатил мальчик.
19 рублей мальчик заплатил за 1 чашку чая, 1 пирожок и 1 конфету.
Ответ: 19 рублей.
Слава собирался купить 20 конфет, но ему не хватало для этого 3 руб. Тогда Слава купил 15 конфет, и у него осталось 7 руб. сдачи. Сколько стоит одна конфета?
Решение.
Решение:
20 − 15 = 5 (к.) — разница в конфетах
7 + 3 = 10 (руб.) — нужно денег на 5 конфет
10 : 5 = 2 (руб.) — стоит одна конфета
Ответ: 2 рубля стоит одна конфета
Допускается другая последовательность действий и рассуждений, обоснованно приводящая к верному ответу.
Ответ: 2 рубля
Дедушка с бабушкой, отправившись в лес за грибами, взяли с собой внука Артёма и внучку Настю. Все вместе они собрали 89 грибов. При этом бабушка вместе с Настей собрали не меньше, чем 45 грибов, а больше всех грибов
собрал дедушка. Какое наибольшее число грибов мог собрать Артём?
Решение.
Так как бабушка вместе с Настей собрали не меньше 45 грибов, тo кто-то из них двоих собрал больше 22 грибов (если бы и Настя и бабушка собрали не больше, чем по 22 гриба, то вдвоём они собрали бы не больше 44 грибов).
То есть либо Настя собрала не меньше, чем 23 гриба, либо бабушка собрала не меньше, чем 23 гриба. А поскольку дедушка собрал больше всех грибов, то дедушка собрал не меньше, чем 24 гриба. Отсюда следует, что бабушка, Настя и дедушка вместе собрали не меньше, чем 45 + 24 = 69 грибов. Поэтому на долю Артёма остаётся не больше, чем 89 − 69 = 20 собранных грибов.
Дедушка с бабушкой, отправившись в лес за грибами, взяли с собой внука Артёма и внучку Настю. Все вместе они собрали 89 грибов. При этом бабушка вместе с Настей собрали не меньше, чем 45 грибов, а больше всех грибов
собрал дедушка. Какое наибольшее число грибов мог собрать Артём?
Решение.
Так как бабушка вместе с Настей собрали не меньше 45 грибов, тo кто-то из них двоих собрал больше 22 грибов (если бы и Настя и бабушка собрали не больше, чем по 22 гриба, то вдвоём они собрали бы не больше 44 грибов).
То есть либо Настя собрала не меньше, чем 23 гриба, либо бабушка собрала не меньше, чем 23 гриба. А поскольку дедушка собрал больше всех грибов, то дедушка собрал не меньше, чем 24 гриба. Отсюда следует, что бабушка, Настя и дедушка вместе собрали не меньше, чем 45 + 24 = 69 грибов. Поэтому на долю Артёма остаётся не больше, чем 89 − 69 = 20 собранных грибов.
На кухне у бабушки в вазочке лежало 25 конфет. В течение дня её внучки Даша, Марина и внук Витя съели все эти конфеты. Причём Даша съела конфет в два раза больше, чем Марина, а Витя съел конфет больше, чем Maрина, но меньше, чем Даша. Сколько конфет съел Витя?
Решение.
1) Если Марина съела не больше 5 конфет, то Даша съела не больше 5 · 2 = 10 конфет. Тогда на долю Вити осталось не меньше, чем 25 − 5 − 10 = 10 конфет. Но это противоречит условию «Витя съел конфет меньше, чем Даша». Значит, наше предположение неверно, и Марина съела больше 5 конфет.
2) Допустим, Марина съела 6 конфет, тогда Даша съела 12 конфет, а Вите досталось 25 − 6 − 12 = 7 конфет. При этом все условия задачи будут выполнены.
3) Если же Марина съела бы 7 конфет (или больше), тогда Даша съела бы 14 конфет (или больше), а Вите досталось бы 25 − 7 − 14 = 4 конфеты (или меньше). Но это противоречит условию «Витя съел конфет больше, чем Марина»
4) Рассмотрев все случаи, приходим к выводу, что единственным возможным вариантом является тот, при котором
Марина съела 6 конфет, Даша 12 конфет, a Витя 7 конфет.
В викторине для школьников по краеведению принимали участие команды нескольких школ. Всего было задано 20 вопросов. За правильный ответ команде начисляли 2 очка, а за неправильный снимали 1 очко (если команда совсем не давала ответ на вопрос, то очки не начисляли и не снимали). Команда Лицея №1 отвечала на все вопросы без исключения и по итогу викторины набрала 25 очков. Сколько раз команда Лицея №1 давала неверный ответ на вопрос?
Решение.
Решение: Если бы школьники все время правильно отвечали, то команда набрала бы 20 · 2 = 40 очков. Всего команда недобрала 40 − 25 = 15 очков. При неправильном ответе команда не зарабатывает 2 очка и теряет ещё одно очко, то есть всего теряет 3 очка. Значит, команда неправильно ответила на 15/3 = 5 вопросов.
Ответ: 5.
В «Детском мире» продавали двухколёсные и трёхколёсные велосипеды. Максим пересчитал все рули и все колёса. Получилось 12 рулей и 27 колёс. Сколько трёхколёсных велосипедов продавали в «Детском мире»?
Запиши решение и ответ.
Решение.
Поскольку рулей 12, то и велосипедов 12.
Если бы все велосипеды были двухколёсные, то колёс было бы 12 · 2 = 24.
Но колёс всего 27, то есть на 3 больше. Значит, среди велосипедов было 3 трёхколёсных.
Должно быть также засчитано решение:
3 · 3 + 9 · 2 = 27. Поэтому трёхколёсных велосипедов 3.
Ответ: 3.
В «Детском мире» продавали двухколёсные и трёхколёсные велосипеды. Максим пересчитал все рули и все колёса. Получилось 12 рулей и 27 колёс. Сколько трёхколёсных велосипедов продавали в «Детском мире»?
Запиши решение и ответ.
Решение.
Поскольку рулей 12, то и велосипедов 12.
Если бы все велосипеды были двухколёсные, то колёс было бы 12 · 2 = 24.
Но колёс всего 27, то есть на 3 больше. Значит, среди велосипедов было 3 трёхколёсных.
Должно быть также засчитано решение:
3 · 3 + 9 · 2 = 27. Поэтому трёхколёсных велосипедов 3.
Ответ: 3.
В групповом этапе чемпионата по футболу в каждой группе участвуют четыре команды, при этом каждая команда встречается с каждой другой. За победу команде начисляется 3 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков. После завершения группового этапа в одной из групп распределение набранных командами очков получилось таким: 5, 4, 4, 2. Сколько ничьих было в этой группе?
Решение.
Каждая из команд провела по три матча. Пять очков можно было получить только в одном случае: один раз выиграть и два раза сыграть в ничью. Четыре очка за три матча можно получить следующим образом: один раз выиграть, один раз проиграть, один раз сыграть вничью. Два очка можно получить, если команда два раза играет вничью, а третий раз проигрывает. Различных игр вничью в данной группе — 3.
Ответ: 3.
